Aloha :)
$$\left.\frac{1}{x+2}+\frac{3}{x-6}<0\quad\right|\text{beide Brüche addieren}$$$$\left.\frac{(x-6)+3(x+2)}{(x+2)(x-6)}<0\quad\right|\text{vereinfachen}$$$$\left.\frac{4x}{(x+2)(x-6)}<0\quad\right|\colon4$$$$\left.\frac{x}{(x+2)(x-6)}<0\quad\right.$$Ein Bruch ist genau dann negativ, wenn Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben.
1. Fall: Zähler negativ, Nenner positiv:$$x<0\;\land\; (x+2)\underbrace{(x-6)}_{<0}>0\implies x+2<0\implies x<-2$$Für \(x<-2\) ist der Zähler negativ und der Nenner positiv.
2. Fall Zähler positiv, Nenner negativ::$$x>0\;\land\;\underbrace{(x+2)}_{>0}(x-6)<0\implies x-6<0\implies x<6$$Für \(x>0\) und \(x<6\) ist der Zähler positiv und der Nenner negativ.
Als Lösungsmenge haben wir daher gefunden:$$\mathbb L=\{x\in\mathbb R\;\big|\;x<-2\;\lor\;0<x<6\}$$
~plot~ 1/(x+2)+3/(x-6) ; [[-8|8|-8|8]] ~plot~
