Zeigen Sie dass Ker(L) :=

Question

Aufgabe:

Seien V, W Vektorräume und L : V → W eine lineare Abbildung. Zeigen
Sie, dass
Ker(L) := {v ∈ V : L(v) = 0}
ein Untervektorraum von V und
Bild(L) := {L(v) ∈ W : v ∈ V }
ein Untervektorraum von W ist.

Problem/Ansatz:

wie macht man das

Answer 1

Unterraumkriterien prüfen:

0∈U und U abgeschlossen gegen über +

        und U abgeschlossen gegenüber Multiplikation mit
                             Elementen des Grundkörpers.

Bei  U =  Kern(L)  etwa so:

1.   Es ist L(0)=0 , also 0∈U

2. Seien x,y ∈U, also L(x)=0 und L(y)=0

Wegen Linearität folgt

L(x+y) = L(x)+L(y) = 0+0 = 0 , also x+y∈U.

3. Sei a∈K (K-Vektorraum ?) und x∈U, also L(x)=0

==>  L(a*x) = (linearität) a*L(x) = a*0 = 0 , also a*x∈U

Comments

vielen lieben dank, in meinem Skript wurde das nicht so ausführlich besprochen wie von ihnen ^^