Differenzieren, Quotientenregel anwenden?

Question

Aufgabe:

\( f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-x^{3}} \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

u = x^2+1 -> u' = 2x

v= x-x^3 -> v'= 1-3x^2

f '(x) = (u'v-u*v')/v^2

Kriegst du das hin?

Answer 2

Klar, Quotientenregel:

( Nenner * Abl. vom Zähler - ( Zähler * Abl. vom Nenner) ) durch Nenner^2

= ( (x-x^3)*2x -  (x^2+1)*(1-3x^2) ) /   (x-x^3)^2

gibt am Ende ( x^4 +4x^2 - 1)/(x^6-2x^4+x^2)

Answer 3

Aloha :)

Verwende die Quotientenregel:$$f'(x)=\left(\frac{\overbrace{x^2+1}^{=u}}{\underbrace{x-x^3}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{2x}^{=u'}\cdot\overbrace{(x-x^3)}^{=v}-\overbrace{(x^2+1)}^{=u}\cdot\overbrace{(1-3x^2)}^{=v'}}{\underbrace{(x-x^3)^2}_{=v^2}}$$und fasse das Ergebnis zusammen:$$f'(x)=\frac{(2x^2-2x^4)-(x^2+1-3x^4-3x^2)}{(x-x^3)^2}=\frac{x^4+4x^2-1}{(x-x^3)^2}$$