Eine Annäherung an Wurzel 2

Question

Zeige:

Wenn (\( \sqrt{2} \) - 1)²ⁿ=a-b\( \sqrt{2} \) und n→∞,

dann \( \frac{a}{b} \) →\( \sqrt{2} \).

Comments

Das Standardverfahren (mit vst.Ind. zeigen, dass q_n+1 = (3q_n+4) / (2q_n+3) mon.↓ und nach unten beschränkt ist sowie lim q_n = lim q_n+1) führt zum Ziel.

---

Wie kann man an sowas Freude haben?

Trockenste Mathematik genauso wie die Induktionsbeweise u.ä. ödes Zeug.

Kein Wunder, dass viele Mathematiker komische oder sehr schwierige Menschen sind,

wie man auch hier täglich erleben kann/ muss.

Wie Geld kann auch Mathe den Charakter verderben oder zumindest bei ihm unangenehme

Spuren hinterlassen.

Damit meine ich dich, Roland, ausdrücklich NICHT.

---

Vielleicht verstehe ich die Frage nicht, aber aus

$$(\sqrt{2}-1)^{2n}=a-b\sqrt{2} \Longleftrightarrow a=(\sqrt{2}-1)^{2n}+b\sqrt{2} \Longrightarrow \frac{a}{b}=\frac{(\sqrt{2}-1)^{2n}}{b}+\frac{b\sqrt{2}}{b}$$

folgt doch unmittelbar die Behauptung da

$$(\sqrt{2}-1)<1$$ ist, oder ?

---

@Gast2016: Danke,dass du mich ausdrücklich NICHT meinst. Dass Induktionsbeweise von dir als ödes Zeug bezeichnet werden, kann ich nachvollziehen. Dass aber Mathematik den Charakter verdirbt, bestreite ich. Mathematik kann man nur lieben, wenn man bereit ist, sich Schwierigkeiten zu stellen. Den Königsweg zur Mathematik gibt es nicht.

---

@Woodoo: Warum versteckst du deine Antwort in einem Kommentar?

---

@Roland

Warum akzeptierst du nicht, dass es manchen Leuten genügt, sachverständig zu antworten ohne nach Bonuspunkten zu jagen?

---

Wie kann man an sowas Freude haben?

Weil man es kann?

Weil man es versteht?

---

Da ist man mal ein paar Stunden offline, und schon sind Kommentare eines Disputs weg.

Ist in meiner Abwesenheit jemand ausfällig geworden?

Answer 1

Für jedes \(n\in \mathbb{N}\) gibt es ganze Zahlen \(a_n,b_n\) mit \(b_n\neq 0\),

so dass \((\sqrt{2}-1)^{2n}=a_n-b_n\sqrt{2}\) ist (Man benutze den binomischen Satz).

Wegen \(0\lt \sqrt{2}-1\lt 1\) gilt \(\lim_{n \to \infty}(\sqrt{2}-1)^{2n}=0\), folglich

\(a_n-b_n\sqrt{2}\rightarrow 0\) für \(n\rightarrow \infty\), also

\(a_n/b_n\rightarrow \sqrt{2}\).

Comments

Es gibt sogar natürliche Zahlen a_n und b_n, aber ist das wirklich wichtig?

---

aber ist das wirklich wichtig?

Ich meine, das spielt keine Rolle.