Zeigen Sie, dass dann \mu_{A}(T)=\chi_{A}(T) gilt.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

1. Aufgabe Sei \( A \in K^{n \times n} \) eine Matrix, die \( n \) paarweise verschiedene Eigenwerte in \( K \) hat. Zeigen Sie, dass dann \( \mu_{A}(T)=\chi_{A}(T) \) gilt.

Problem/Ansatz:
Ich habe hier keinen Ansatz und verstehe es auch nicht ganz. Kann bitte jemand mir dabei helfen.

Comments

Du sollst zeigen, dass bei lauter verschiedenen Eigenwerten
das Minimalpolynom gleich dem charakteristischen Polynom ist.

Welche Aussagen über die Nullstellen des Minimalpolynoms kennst du?

Answer 1

Ist das nicht eher banal ?

Jeder Eigenwert ist doch Nullstelle des Minimalpolynoms.

Wenn es n paarweise verschiedene gibt, dann muss das

Minimalpolynom in n Linearfaktoren zerfallen,

hat also Grad n und ist damit gleich dem char. Polynom.