Erwartungswert der Verteilung berechnen

Question

Moin Leute!

Ich habe leider mal wieder ein Problem mit einer Dichtefunktion und brauche bitte dringend eure Hilfe :(

Die Aufgabe ist diese:

Um den Erwartungswert zu berechnen, liege ich richtig mit der Annahme, für jeden angegebenen Wertebereich den Mittelwert bzw. Modus zu bilden (z.B. 66,65 für 61,1 ≤ x < 72) und dann gemäß der Formel

E(X) = $\int\limits_{-\infty}^{\infty}$ x • f(x) dx

für jeden Wertebereich den Erwartungswert auszurechnen und alles zusammen zu addieren?

Oder ist der Ansatz so falsch?

Für den zweiten Teil müsste laut meiner Rechnung ≈0.0257 raus kommen, richtig?

Ich danke vielmals für eure Hilfe!

Liebe Grüße,

euer Studi07

Comments

Achso, aktuell hätte ich demnach als Erwartungswert ≈69,5772

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Da durch Moderation gefordert, ich aber nicht mehr editieren kann:

Die folgende Dichtefunktion der Zufallsvariable $X$ zeigt die Verteilung des Gewichts im männlichen Mittelgewicht ( $\leq 75 k g$ ) beim olympischen Boxen.

Wie groß ist das erwartete Gewicht eines zufällig gezogenen olympischen Boxers? Beachten Sie hierbei, dass sich der Erwartungswert der Verteilung vereinfacht berechnen lässt als Mittelwert von Minimum, Maximum und Modus der Verteilung.
Erwartetes Gewicht in $\mathrm{kg}=$ ???
Ein Olympionike möchte wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass sein nächster Gegner zwischen einschließlich 74 und 75 kg wiegt.
Wahrscheinlichkeit für das angegebene Gewicht = ???

Entschuldigung für's Vergessen.

Answer 1

Aloha :)

Wenn du in den ersten Fall der Dichtefunktion$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\pink2(x-61,1)}{\pink{(75-61,1)}(72,2-61,1)} & \text{für }61,1\le x<72,2\\[1ex]\pink{\frac{2}{(75-61,1)}} &\text{für }x=72,2\\[1ex]\frac{\pink2(75-x)}{\pink{(75-61,1)}(75-72,2)} & \text{für }72,2<x\le75\\[1ex]0 & \text{sonst}\end{array}\right.$$den Fall $x=72,2$ einträgst, kürzt sich die Klammer aus dem Zähler mit der zweiten Klammer aus dem Nenner raus und es bleibt exakt $f(72,2)$ übrig. Daher kann man den zweiten Fall der Dichtefunktion mit dem ersten zusammenfassen:$$f(x)=\pink{\frac{2}{(75-61,1)}}\cdot\left\{\begin{array}{cl}\frac{x-61,1}{72,2-61,1} & \text{für }61,1\le x\le72,2\\[1ex]\frac{75-x}{75-72,2} & \text{für }72,2<x\le75\\[1ex]0 & \text{sonst}\end{array}\right.$$$$f(x)=\pink{\frac{20}{139}}\cdot\left\{\begin{array}{cl}\frac{10x-611}{111} & \text{für }61,1\le x\le72,2\\[1ex]\frac{750-10x}{28} & \text{für }72,2<x\le75\\[1ex]0 & \text{sonst}\end{array}\right.$$

Der Erwartungswert für das Gewicht eines Boxers ist daher:$$\mu=\frac{20}{139}\left(\int\limits_{61,1}^{72,2}x\cdot\frac{10x-611}{111}\,dx+\int\limits_{72,2}^{75}x\cdot\frac{750-10x}{28}\,dx\right)\approx69,4333$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Boxer(chen) zwischen 74 und 75kg wiegt, beträgt:$$p=\int\limits_{74}^{75}f(x)\,dx=\frac{20}{139}\int\limits_{74}^{75}\frac{750-10x}{28}\,dx=\frac{25}{973}\approx0,0257$$

Answer 2

Der Erwartungswert berechnet sich so wie Du geschrieben hast als Summe der Integrale $E(X) = \int_a^b x f(x) dx$ wobei für $a$ und $b$ die jeweiligen Intervallgrenzen einzusetzen sind. Ebenso die Varanianz mit $E(X^2) = \int_a^b x^2 f(x) dx$ und anschliessend die Varianz als $E(X^2) - E(X)^2$

Comments

Hallo! Vielen Dank für die Antwort!

Kurze Rückfrage, bzgl. des folgenden Teilsatzes: "...Verteilung vereinfacht berechnen lässt als Mittelwert von Minimum, Maximum und Modus der Verteilung"

Wäre damit gemeint, dass für X der Mittelwert für z.B. von 61,1 ≤ x < 72,2 also 66,65 eingesetzt wird? Also für das konkrete Beispiel mit den angegebenen Grenzen $\int\limits_{61,1}^{72,2} 66,65 · f(66,65) dx$ ? Und die Ergebnisse jeweils addiert?