Bestimmen Sie deren Inhalt. (Integralrechnung)

Question

Aufgabe

Die graphen der funktionen f(x)=1-x² und g(x)=x²-2x+1 schneiden sich.

Zwischen den schnittpunkten umschließen Sie eine Fläche A vollständig.

Bestimmen Sie deren Inhalt.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Graphen im Koordinatensystem gezeichnen allerdings kann ich keine genaue Intervall ablesen und weiß auch nich wie man das vorgehen sollte, zu dem steht da Bestimme(?)

Ich würde mich über jede Erklärung oder Lösungsvorschlag freuen;)

Ps: hat sich erledigttt, keine Ahnung was ich mir dachtteee. Kurz Thema vergessen hehe

Answer 1

Hallo,

die Intervallgrenzen sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen, die du bestimmst, indem du die Funktionen gleichsetzt und nach x auflöst.

\(x^2-2x+1=1-x^2\)

Anschließend bestimmst/berechnest du den Flächeninhalt, indem du die Differenzfunktion h bildest.

h(x) = g(x) - f(x)

\(\int \limits_{0}^{1}2x^2-2x\;dx\)

Gruß, Silvia

Comments

Tipp am Rande: ein Parabelbogen vom Scheitel \(S\) der Parabel bis zu einem beliebigen Punkt \(T\) auf der Parabel teilt das einhüllende achsenparallele Rechteck mit den diagonal gegenüber liegenden Punkten \(S\) und \(T\) immer(!) im Verhältnis \(2\div 1\).

Daraus folgt hier, dass die Fläche unter dem grünen Graphen \(=2/3\) und die unter dem roten \(=1/3\) sein muss. Die Differenz ist dann ebenso \(=1/3\).

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Ich lerne immer gerne dazu!

Answer 2

Die graphen der funktionen f(x)=1-x² und g(x)=x²-2x+1 schneiden sich. Zwischen den schnittpunkten umschließen Sie eine Fläche A vollständig.

1. Bilde die Differenzfunktion

d(x) = f(x) - g(x) = (1 - x²) - (x² - 2x + 1) = 2·x - 2·x²

2. Bilde die Schnittstellen der Funktionen bzw. die Nullstellen der Differenzfunktion

d(x) = 2·x - 2·x² = 2·x·(1 - x) = 0 --> x = 0 ∨ x = 1

3. Bilde die Stammfunktion der Differenzfunktion

D(x) = x² - 2/3·x³

4. Berechne jetzt den gerichteten Flächeninhalt

A = ∫ (0 bis 1) d(x) dx = D(1) - D(0) = 1/3 - 0 = 1/3

Der Flächeninhalt beträgt 1/3 FE