Lösungen der Differentialgleichungen bestimmen

Question

Aufgabe:

Es handelt sich wieder um Differentialgleichungen.

Ich habe mal den Ansatz formuliert, aber kann das so stimmen? Wie soll ich hier weiterrechnen?

2) \( \mathfrak{h} \)
\( \begin{array}{ll} y^{\prime \prime}(x)+4 y^{\prime}(x)=e^{x} & y_{1}=y \\ y^{\prime \prime}(x)=-4 y^{\prime}(x)+e^{x} & y_{2}=y^{\prime} \\ y^{\prime \prime}(x)=-4 y_{2}(x)+e^{x} & \\ y_{1}^{\prime}=y_{2} \\ y_{2}^{\prime}=-4 y_{2}(x)+e^{x} \\ \left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right)^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 0 \\ e^{x} \end{array}\right) \end{array} \)
EW: \( \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}-\lambda & 1 \\ 0 & -4-\lambda\end{array}\right)=-\lambda \cdot(-4-\lambda)=4 \lambda+\lambda^{2}=0 \)
\( \begin{array}{l} \Rightarrow y=c_{1}+x \cdot c_{2} \cdot e^{-4 x} \\ \Rightarrow \lambda=0 \quad \lambda=-4 \\ \lambda=0 \quad E V:\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -4 \end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \Longrightarrow E V=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right) \\ \lambda=-4\left(\begin{array}{ll} 4 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{ll|l} 1 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \Rightarrow E Y=\left(\begin{array}{c} \frac{1}{4} \\ -1 \end{array}\right) \triangleq=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -4 \end{array}\right) \\ y_{h}=c_{1} \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right)+c_{2} \cdot e^{-4 x} \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ -4 \end{array}\right) \\ \end{array} \)

Answer 1

Hallo

einfacher ist hier y'=v und y''=v'

also homogene Dgl v'=-4v  v=C*e^-4x

inhomogen: Ansatz v=A*e^x einsetzen und daraus A bestimmen

dann die Summe aus  homogen +partikulär  integrieren für y(x)

aber auch in deinem System kannst du ja y1=A*e^x als partikuläre Lösung einsetzen und A bestimmen-

Gruß lul

Comments

Das check' ich noch nicht..

Also passt mein Ansatz soweit?

---

Hallo

ja, passt

lul