Sei A ∈ ℤn×n. Beweisen Sie: Es gibt genau dann eine Matrix A′ ∈ ℤn×n mit A · A′ = In = A′ · A, wenn det A ∈ {1, −1}.

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ ℤ^n×n. Beweisen Sie: Es gibt genau dann eine Matrix A′ ∈ ℤ^n×n mit A · A′ = I_n = A′ · A,

wenn det A ∈ {1, −1}.

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand helfen

Comments

Habt Ihr die Darstellung der Inversen einer Matrix mit Hilfe der "adjunkten Matrix" besprochen?

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ja genau. Ich weiß nicht was genau hier verlangt wird

Answer 1

Wenn \(AA'=I\) gilt, dann folgt \(\det (A) \det(A')=1\). Weil \(\det (A), \det(A') \in \Z\) sind kann ihr Produkt nur 1 ergeben, wenn beide gleich 1 oder beide gleich -1 sind.

Wenn \(\det (A), \det(A') \in \{1,-1\}\) sind, dann kann man aus der Darstellung der Inversen mit der adjunkten Matrix ablesen, dass \(A'=A^{-1}\) nur ganze Zahlen enthält, weil natürlich alle Minoren ganzzahlig sind.

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Danke mein Held