Zeigen Sie, dass ein \xi \in[0,1] existiert mit f(\xi)=\xi .

Question

Aufgabe:

Sei \( f:[0,1] \rightarrow[0,1] \) monoton wachsend. Zeigen Sie, dass ein \( \xi \in[0,1] \) existiert mit \( f(\xi)=\xi \).

Hinweis: Betrachten Sie die Menge \( M:=\{x \in[0,1]: f(x) \geq x\} \).

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich hier anfangen soll. Kann jemand helfen?

Wäre sehr dankbar!!!

Comments

Hallo
was weisst du über f(x)-x >0 und <0
lul

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Was würde das bringen?

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@lul weiß überhaupt nichts. (Deswegen frage ich ja nach…)

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0 ist auf jeden Fall in M. Also ist M schon einmal nicht-leer. Außerdem ist M nach oben beschränkt. Man findet also s := sup M ≤ 1

Behauptung: f(s) = s

Dazu zeigt man \( s \le f(s) \) und \( f(s) \le s \)

Für die erste Ungleichung: Zeige, dass f(s) eine obere Schranke von M ist.

Für die zweite Ungleichung: Zeige, dass f(s) in M liegt.

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@MatHaeMatician

Vielen Dank!

Können Sie auch die Ungleichungen rechnerisch zeigen?