lim n->inf ((ln(4n^n))-(ln(√n)))/((ln(5n^{2n})-(ln(√n))

Question

Guten Tag

Brauche den folgenden Grenzwert:

$$\lim _{ \infty  }{ n }$$ $$\frac { ln({ 4n }^{ n })-ln(\sqrt [ 5 ]{ n } ) }{ ln({ 5n }^{ 2n })-ln(\sqrt [ 5 ]{ n } ) } $$

Ich bitte um vollständigen Rechenweg. Vielen Dank

Answer 1

lim (n --> ∞) (LN(4·n^n) - LN(n^{1/5}))/(LN(5·n^{2·n}) - LN(n^{1/5}))

lim (n --> ∞) (LN(4) + n·LN(n) - 1/5·LN(n))/(LN(5) + 2·n·LN(n) - 1/5·LN(n))

lim (n --> ∞) (LN(4)/LN(n) + n - 1/5)/(LN(5)/LN(n) + 2·n - 1/5)

lim (n --> ∞) (LN(4)/(n*LN(n)) + 1 - 1/(5n))/(LN(5)/(nLN(n)) + 2 - 1/(5n)) = 1/2

Comments

wieder was gelernt

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Ich hab doch noch ein Verständnisproblem.

in der 2. Zeile wird ja die Potenz vor das ln getan.aber wenn man n*ln(4n) aufteilt, muss da dann nicht stehen:

n*ln(4) + n*ln(n)  ?

Im nenner hab ich das gleiche Problem.

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Du machst da denke ich einen Fehler

LN(4·n^n) = LN(4) + LN(n^n) = LN(4) + n * LN(n)

LN(4·n^n) ≠ n * LN(4·n)

Du kannst das ja mal probieren indem du Zahlen einsetzt.

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Danke, hab ich verstanden