Grenzwert lim x -> unendlich: (1+x)^p/(1+x^p) , (p > 0)

Question

kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen?

lim (x -> ∞) (1+x)^p/(1+x^p) , (p > 0)

stehe da gerade etwas auf dem Schlauch.

Comments

Zwei Vorschlaege:

1) Wende im Zaehler die Binomialformel an.

2) Mache p mal L'Hospital.

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Wobei man beachten sollte, dass \(p\) nicht unbedingt eine natürliche Zahl ist.

Answer 1

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{(1+x)^p}{1+x^p}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\left(x\left(\frac{1}{x}+1\right)\right)^p}{x^p\left(\frac{1}{x^p}+1\right)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^p\left(\frac{1}{x}+1\right)^p}{x^p\left(\frac{1}{x^p}+1\right)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\left(\frac{1}{x}+1\right)^p}{\left(\frac{1}{x^p}+1\right)}=1$$ 
Da $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)}{\lim_{x\rightarrow \infty}g(x)}$$ $$\lim_{x\rightarrow\infty} \left(\frac{1}{x}+1\right)^p=\left(\lim_{x\rightarrow\infty}  \left(\frac{1}{x}+1\right)\right)^p$$ und $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x^n}=0, \forall n>0$$