Grenzfunktion und Konvergenzradius von Potenzreihen bestimmen?

Question

ich habe hier 3 Aufgaben mit Lösung allerdings verstehe ich diese nicht und mein Tutor hat es mir auch nicht verständlich machen können. Vielleicht kann mir hier jemand erklären wieso das so gemacht wird. Aufgabe war es die Grenzfunktion und den Konvergenzradius zu bestimmen. Nun zu meinen Fragen. Also ich weiß, dass es zum bestimmen des Konvergenzradius Kriterien gibt. Quotienten und Wurzel zb  und die gibt es ja seperat fur Potenzreihen. Bei der Aufgabe a) verstehe ich nicht warum man 1/2^n * 2^n+1 rechnet...wie kommt man darauf. Und wieso wird manchmal bei der Potenzreihe nur die Reihe ohne das x oder z (bei uns komplexe Zahlen) sich angeschaut und manchmal doch mit. Und wieso nutzt man mal das normale Quotientenkrit. für Reihen (Aufg. b)) und mal das für Potenzreihen. Das ist mir noch nicht ganz klar. Hoffe meine Frage ist verständlich und mir kann jemand weiterhelfen.

Und Schöne Feiertage euch noch

Answer 1

a)  Wenn in den Summanden so ein Term wie ( z - z_o )ⁿ  auftaucht  ist es eine Potenzreihe mit dem

Entwicklungspunkt  z_o )ⁿ  und der Faktor vor der Klammer liefert die Koeffizienten. 

Man kann dann für den Konvergenzradius den Grenzwert von | a_n / a_n+1 | nehmen, wenn er existiert.

Hier wäre das also   | a_n / a_n+1 |Das erklärt:  Bei der Aufgabe a) verstehe ich nicht warum man 1/2ⁿ * 2ⁿ+1 rechnet...

= | ( 3/ ( -2) ⁿ )   /    ( 3/ ( -2) ⁿ⁺¹ )  |


= | ( -2) ⁿ⁺¹ )  /  ( -2) ⁿ )  |    = | -2 |  = 2 .

Weil hier  | a_n / a_n+1 |  eine konstante Folge ist, ist es besonders einfach  (war eurem Prof wohl zu banal.).

Du kannst die gleiche Aufgabe auch behandeln, indem du versuchst die Sache auf die geom. Reihe

zurückzuführen . Das wurde hier versucht und erst mal umgeformt zu

3 * Summe für n=0 bis unendlich über ( (1-z) / 2  )ⁿ.  Wenn man das schafft , das in der Summe nur Potenzen stehen,

ist es ja eine geo. Reihe und das q ist dann die Basis dieser Potenz, hier also  q = (1-z) / 2 .

Nun weiß man, dass die geo-Reihe für 0 <  |  q  |  < 1 jedenfalls konvergiert. Der Betrag fehlte bei dir ??

Also bestimmst du den Konvergenzradius durch
   - 1  <   q   <     1             und   q = (1-z) / 2       

<=>    -1   <    (1-z) / 2     < 1     

<=>     - 2  <    (1-z)     < 2           

<=>    - 3   <   -z        <  1               alles * (-1) Zeichen drehen !

<=>       3  >      z        <   - 1   

Und wenn 1 der Entw. punkt ist und es konvergiert für z zwischen -1 und 3 ist der Radius eben 2.b) Hier geht es nicht mit  Grenzwert von | a_n / a_n+1 | , weil  die Potenzen eine andere Form haben

als  ( z - z_o )ⁿ .   Aber auch hier ist ja nach Umformung wieder eine geo.-Reihe.