Hi,
es gilt $$ \delta(x^2-\alpha^2) = \frac{1}{2|\alpha|} \left( \delta(x-\alpha)+\delta(x+\alpha) \right) $$ s. https://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution
Zu (1)
$$ x^2+1=x^2-i^2 $$ damit gilt $$ \int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(x^2+1) dx = \frac{1}{2|i|} \left( \int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(x-i) dx + \int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(x+i) dx \right) = 0 $$ wegen 6.4 (i) in http://www.staff.uni-mainz.de/schmidfr/Lehre/MRM2_WS10/mrmtotal.pdf \( i \notin (-\infty \ , \infty) \)
Zu (2)
Wegen \( x^2 - \frac{\pi^2}{4} = (x-\frac{\pi}{4}) (x+\frac{\pi}{4}) \) folgt, das Integral ist \( 0 \) weil der Sinus eine ungerade Funktion ist.
Zu (3)
$$ e^x - 1 = 0 $$ folgt \( x = 0 \) also ist das Integral \( f(0) \)
Zu (4)
Es gilt \( \cos(x) = 0 \) für \( x = \frac{\pi}{2} + k \pi \) Also gilt \( \cos\left( \frac{\pi}{2}x \right) = 0 \) für \( x = 1 +2k \)
Also folgt für das Integral, weil \( \frac{x-1}{2} = k \) ist, das gilt $$ \sum_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q} $$
Zu (5)
Wegen $$ \int_a^b f(x) \delta'(x) dx = -f'(0) $$ folgt
$$ \int_{-2}^2 \cos\left( \frac{\pi}{2}x \right) \delta'(x^2-1) dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^2 \cos\left( \frac{\pi}{2}x \right) \left[ \delta'(x-1) + \delta'(x+1) \right]dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right] = 0 $$
