Aufgabe: Wir betrachten die Vektoren (0,1,i) , (i,0,0) , (0,i,1) , (1,i,-1) , (i,1,0) im C-Vektorraum C3
(a) Wählen Sie aus diesen Vektoren drei aus, die linear unabhängig sind (und zeigen Sie ihre lineare Unabhängigkeit).
(b) Sei z ∈ C3. Stellen Sie z dar als Linearkombination der in (a) gewählten Vektoren, indem Sie die Koeffizienten in Abhängigkeit der Komponenten z1, z2, z3 von z beschreiben.
(c) Bilden die in (a) gewählten Vektoren eine Basis von C3? Bitte begründen Sie.
Mein Ansatz wäre, erstmal zu schauen, welche drei Vektoren kein Vielfaches voneinander sind (da sie ja sonst linear abhängig wären). Dabei fallen mir direkt drei Vektoren ins Auge: (0,1,i) , (i,1,0) und (1,i,-1). Außerdem muss gelten, dass diese alle zusammen 0 ergeben. Also Die Vektoren a,b,c sind linear abhängig, wenn λa + μb + φc = 0 nur mit λ=μ=φ=0 erfüllt ist. Meine Idee wäre, das in einem Gleichungssystem darzustellen, damit man eine Nulllösung (triviale Lösung) zeigt und damit die lineare Un)Abhängigkeit beweist. Also:
λ · 0 + μ · i + φ · 1 = 0
λ · 1 + μ · 1 + φ · i = 0
λ · i + μ · 0 + φ · (-1) = 0
Für Aufgabe (b) habe ich gerade mal die Linearkombination von den Vektoren a,b und c mit z = (1i,2i,-1i) gemacht... ich komme leider nicht mehr weiter... auch ist mir nicht klar, wie Aufgabe (c) funktioniert.
