Skalarprodukte Multiple Choice

Question

Es sei \( V \) ein \( \mathrm{n} \) -dimensionaler Vektorraum und \( B=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right) \) eine Basis von \( \mathrm{V} \). Kreuzen sie alle richtigen Antworten an

Antworten:

1.  Es gibt auf \( V \times V \) genau \( n \) Skalarprodukte.

2. Es gibt auf \( V \times V \) genau ein Skalarprodukt.

3.  Ein Skalarprodukt auf \( V \times V \) wird durch \( g_{i j}=\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle \) eindeutig bestimmt.

4.  Basisvektoren erfülen immer \( \left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=\delta_{i j} \)

5.  Die Menge \( L=\left\{f_{i} \mid i=1 \ldots n\right\} \) mit \( f_{i}(v)=\left\langle v, b_{i}\right\rangle \) ist eine Basis des Dualraums von \( V \)

Answer 1

Ich meine, dass nur 3 und 5 wahr sind.

Comments

Okay und können Sie das auch begründen? Ich muss ja irgendwie einen Einblick in die Zusammenhänge finden

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zu 1 und 2 und 4 ist es wohl so:

Wenn man etwa in R^2 für ein positives k nimmt:

$$<\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix};\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}>:=kax+kby$$

sind m.E. alle Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt.

3 lässt sich nachrechnen, durch Darstellung zweier

Vektoren mit der gegebenen Basis.

Bei 5 bin ich mir nicht ganz sicher.