gradient berechnen und zylinder koordinaten

Question

Text erkannt:

Es seien \( \vec{Z}(\rho, \varphi, z) \) die Zylinderkoordinaten aus der Vorlesung und \|\|\( _{2}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) die euklidische Norm auf \( \mathbb{R}^{3} \). Wir setzen \( N(\rho, \varphi, z):=\|\vec{Z}(\rho, \varphi, z)\|_{2} \). Berechnen Sie \( \left\|\operatorname{grad}_{\left(3, \frac{\pi}{3}, 4\right)} N\right\|_{2} \)
und waehlen Sie die korrekte Antwort:
\( M^{\prime}(\rho, \varphi, z) \in \mathbb{R}^{1 \times 3} \) haengt nicht von \( \varphi \) ab und es gilt \( \left\|\operatorname{grad}_{\left(3, \frac{\pi}{3}, 4\right)} N\right\|_{2}=1 \)
\( M^{\prime}(\rho, \varphi, z) \in \mathbb{R}^{1 \times 3} \) haengt nicht von \( \varphi \) ab und es gilt \( \left\|\operatorname{grad}_{\left(3, \frac{\pi}{3}, 4\right)} \mathrm{N}\right\|_{2}=\sqrt{\frac{34}{25}} \)
\( M^{\prime}(\rho, \varphi, z) \in \mathbb{R}^{3 \times 1} \) haengt von \( \varphi \) ab und es gilt
\( \left\|\operatorname{grad}_{\left(3, \frac{\pi}{3}, 4\right)} N\right\|_{2}=1 \)
\( M^{\prime}(\rho, \varphi, z) \in \mathbb{R}^{3 \times 1} \) haengt nicht von \( \varphi \) ab und es gilt \( \left\|\operatorname{grad}_{\left(3, \frac{\pi}{5}, 4\right)} N\right\|_{2}=0 \)
\( M^{\prime}(\rho, \varphi, z) \in \mathbb{R}^{3 \times 1} \) haengt von \( \varphi \) ab und es gilt
\( \left\|\operatorname{grad}_{\left(3, \frac{\pi}{3}, 4\right)} \mathrm{N}\right\|_{2}=\sqrt{\frac{34}{25}} \)

könnte jemand mir sagen wie ich das rechne?

bedanke mich

Comments

ich danke dir könnte ich eine Frage mit gradient stellen

Du meinst diese hier (s.o.)
Bei dieser Frage versteh ich nicht, was bei diesem Term $$\left\|\operatorname{grad}_{\left(3, \frac{\pi}{3}, 4\right)} N\right\|_{2}$$mit dem \(N\) gemeint ist!?

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Steht doch da: Die euklidische Norm von den Zylinderkoordinanten

\( x=\rho \cos \varphi \)
\( y=\rho \sin \varphi \)
\( z=z \)

\(||Z(\rho,\varphi,z)||_2=\sqrt{\rho^2+z^2}\)

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\(N\) ist die Funktion ... (Tomaten auf'n Augen)

was genau ist aber dann $$\|\text{grad}_{\left( 3, \,\frac\pi3,\, 4\right)}N\|_2$$Ist das der Betrag der Ableitung an der Stelle \(\left( 3, \,\frac\pi3,\, 4\right)\) oder der Betrag der Ableitung in Richtung \(\left( 3, \,\frac\pi3,\, 4\right)\)?

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Ist das der Betrag der Ableitung an der Stelle \(\left( 3, \,\frac\pi3,\, 4\right)\) oder der Betrag der Ableitung in Richtung \(\left( 3, \,\frac\pi3,\, 4\right)\)?

Die Norm des Gradienten von \(N\) ausgewertet in \(\left( 3, \,\frac\pi5,\, 4\right)\).

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@racine_carrée: Danke; ich hätte dann eher \(\|\text{grad}\, N(3,\,\frac \pi3,\,4)\|_2\) erwartet.

@inter: dann ist IMHO die erste (bereits gewählte) Antwort richtig. Alle anderen Aussagen sind falsch.

@racine_carrée: siehst Du das auch so?

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@racine_carrée: siehst Du das auch so?

Nein, ich würde die dritte Antwortmöglichkeit angeben, denn \(N'(\rho,\varphi,z)\) ist dimensionstechnisch \(\mathbb{R}^{3\times 1}\). Nämlich:$$N'(\rho,\varphi,z)=\operatorname{grad}N(\rho,\varphi,z)=\frac{1}{\sqrt{\rho ^2+z^2}}\begin{pmatrix} \rho\\0\\z \end{pmatrix}$$ Daher ist auch $$||\operatorname{grad}N(3,\pi/5,4)||_2=\left|\left| \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3\\0\\4 \end{pmatrix}\right | \right|_2=1$$

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Nein, ich würde die dritte Antwortmöglichkeit angeben ...

dort steht 'hängt von \(\varphi\) ab'. Ist aber nicht der Fall.

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Stimmt, das habe ich übersehen, dann hast du recht mit 1) - das mit dem Gradienten verwechsele ich immer mal, wenn ich die Definition lange nicht mehr gesehen habe.

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Man muss aber sagen, dass die Aufgabenstellung rein von der Notation her, grausam ist.