Komplexe Nullstelle ist gesucht

Question

Aufgabe:

Die Nullstellen der komplexen Gleichung sind gesucht

z²+z*+1=0

Problem/Ansatz:

hab für z=x+iy und z*=x-iy eingesetzt

und bin so auf: (x²-y²+x+1)+i(2xy-y)=0 gekommen

damit kann ich aber auch nicht viel anfangen. Kann mir da wer weiterhelfen?

Danke

Answer 1

z²+z*+1=0

pq-Formel im Komplexen

z_1,2 = -1/2 ± √ ( 1/4 - 1 ) = -1/2 ± √ (-3/4)  = -1/2 ± i * √3 / 2 = (-1 ± i * √3) / 2

Comments

Vielen Dank!

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Das ist falsch. Da steht nicht $z^2+z+1$, sondern

$z^2+z^*+1$.

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Oha, den * hatte ich glatt übersehen.

Answer 2

bin so auf: (x2-y2+x+1)+i(2xy-y)=0 gekommen

Das ist schon mal prima.

Eine komplexe Zahl ist genau dann 0, wenn Realteil

und Imaginärteil 0 sind, also bekommst du:

$x^2-y^2+x+1=0\quad (1)$ und

$2xy-y=0\quad (2)$.

$(2)$ liefert $(2x-1)y=0\Rightarrow y=0 \vee x=1/2$

1.Fall: $y=0$ in $(1)$ eingesetzt ergibt $x^2+x+1=0$.

Das ist im Reellen nicht lösbar, also

2.Fall: $x=1/2$. Einsetzen in $(1)$ ergibt $y^2=7/4$,

also $y=\pm 1/2\cdot \sqrt{7}$

Die Lösungen der gegebenen Gleichung sind also$$z_{1,2}=\frac{1\pm i\cdot \sqrt{7}}{2}.$$

Comments

Okay, ich war schon verwundert, dass ich das so einfach machen kann.

Da hast du schon recht, im Reellen ist die Gleichung für y=0 nicht lösbar, im Komplexen aber schon und da kommt am Ende wieder das Gleiche raus wie bei mathef, ist das immer so oder nur dem Beispiel geschuldet?

Jetzt hab ich jedenfalls alle 2 bzw 4 Lösungen raus.

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Nach deiner Namensgebung ist $z=x+iy$ mit

REELLEN x und y. Also ist es unsinnig, nichtreelle Werte für x und y

zu errechnen.