Folgende Exponentialgleichung lösen und die Definitionsmenge bestimmen

Question

Hallo,

kann mir jemand erklären, wie ich diese Gleichung lösen kann? Ich habe zwar einen Ansatz, aber der hilft mir auch nicht weiter. Wie muss ich hier vorgehen und wie muss ich die Definitionsmenge bestimmen?

Aufgabe: Löse die folgenden Gleichungen. Bestimme jeweils die Definitionsmengen.

Problem/Ansatz:

h) \( 3^{4 x+1}+81^{x+1}=9^{2 x-1} \)

Mein Ansatz:

H)  \( 3^{4 x+1}+81^{x+1}=9^{2 x-1} \)
\( 3^{4 x} \cdot 3+81^{x} \cdot 81=\left(9^{2}\right)^{x} 0 \)
\( \left(3^{4}\right)^{x} \quad\left(3^{11}\right)^{2 x-1} \)
\( 3^{4 x-2} \)
\( 3^{4 x} \cdot 3+3^{4 x} \cdot 81=3^{4 x-2} \)
\( 3 \cdot 3^{4 x}+81 \cdot 3^{4 x}-3^{4 x-2}=0 \)
\( 3 \cdot 3^{4 x}+81 \cdot 3^{4 x}-3^{4 x} \cdot 3^{-2}=0 \)
\( 84 \cdot 3^{4 x}=3^{4 x-2} \)
\( \frac{3^{4 x}}{3^{9 x-2}}=\frac{1}{84} \)

Answer 1

$$3^{4x + 1} + 81^{x + 1} = 9^{2x - 1} \newline 3 \cdot 3^{4x} + 81 \cdot 81^{x} = \frac{1}{9} \cdot 9^{2x} \newline 3 \cdot 81^{x} + 81 \cdot 81^{x} = \frac{1}{9} \cdot 81^{x} \newline 84 \cdot 81^{x} = \frac{1}{9} \cdot 81^{x} \newline 84 \neq \frac{1}{9} $$

Die Gleichung ist damit nie erfüllt.

Answer 2

\( 3^{4 x+1}+81^{x+1}=9^{2 x-1} \)

lässt sich umformen in

\( 3^{4 x+1}+3^{4x+4}=3^{4 x-2} \)

und dann in

\( 3^{4 x}·3+3^{4x}·81=3^{4 x}/9 \)

Jetzt kannst du allein weiter?

Answer 3

\(84 \cdot 3^{4 x}=3^{4 x-2} \) ist OK mal 9 gibt

\(756 \cdot 3^{4 x}=3^{4 x}\)

\(755 \cdot 3^{4 x} =0 \)

\( 3^{4 x} =0 \)  und das hat keine Lösung.

Definitionsmenge ist ℝ.