Seien n∈ℕ, K ein Körper, a∈K und V={(x1,...,xn)∈Kn|x1+...+xn=a}⊆Kn

Question

Ich verstehe leider diese beiden Teilaufgaben nicht:

Seien n∈ℕ, K ein Körper, a∈K und

V={(x₁,...,x_n)∈Kⁿ|x₁+...+x_n=a}⊆Kⁿ

a)Zeigen Sie, dass V genau dann ein Unterraum von Kⁿ ist, wenn a=0 ist.

b)Zeigen Sie, dass im Fall a=0 die Menge bestehend aus den Vektoren:

v₁=(1,-1,0...0), ... , v_n-1=(0,...,0,1,-1)

eine K-Basis von V bilden

Answer 1

a) Eine Richtung: Wenn a=0 ist, ist die Menge der Kern der

linearen Abbildung f : K^n → K mit f(v)=v1+v2+...+vn .

Also ein Unterraum von V.

Umgekehrt: Ist a≠0, so gehört der 0-Vektor nicht

zu V, also kein Unterraum.

b) Im Falle a≠0 ist das Bild von f : K^n → K mit f(v)=v1+v2+...+vn.

genau K. Denn sei y∈K. Dann gibt es v∈V mit f(v)=a

und es ist a≠0. ==>   f( y/a * v ) = y/a * f(v) = y/a * a = y.

Also liegt ganz K im Bild von f. Und somit dim(Bild(f)) = 1

==> dim(V) = dim(Kern(f)) = dim(V) - dim(Bild(f)) = n-1.

Und v1=(1,-1,0...0), ... , vn-1=(0,...,0,1,-1) sind n-1

linear unabhängige* Vektoren aus V, also eine Basis.

*) lin. unabhängig zeigst du durch den Ansatz: Seien x1,...xn ∈ K

mit x1*v1 + ... + xn*vn = (0,..,0)

Dann folgt für die 1. Komponente

x1*1 + x2*0 + ... +xn*0 = 0

also x1=0.

Für die zweite

x1*(-1) + x2*1 + x3*0 +...+ xn*0 =0

und wegen x1=0 also auch x2=0.

Entsprechend für alle anderen xi .

Comments

Oh tut mir leid, habe die Teilaufgabe jetzt vervollständigt.

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Wieso denn a ungleich null. In der Aufgabe steht a=0